2014년 7월 25일 금요일

직선운동으로 환상적인 Circle Illusion 만들기

즐거운 주말 보내고 계신가요? 오늘 재미있는 동영상을 하나 보게 되어서 공유하려고 합니다. 제목은 Crazy Circle Illusion입니다. 동영상을 보시면 처음에는 흰 공들이 빨간 공 둘레를 따라가며 원운동을 하는 것처럼 보이지만 사실은 각자 직선을 왕복하는 공들 이었다는 착시현상에 관한 동영상이죠. 일단 먼저 보시죠.


수학을 이용한 예술작품 같은 착시 동영상. (Made by A. Shapiro and A. Rose-Henig)
이 작품은 Tusi or not Tusi 라는 작품으로 2013년도에 Best Illusion of The Year에서 2등을 수상했던 작품입니다. 과연 이 작품에는 어떠한 수학적 비밀이 숨겨져 있을까요?

일단 동영상을 유심히 보시면 공의 움직임은 두 개의 움직임의 합성으로 볼 수 있습니다. 바로 흰공들의 집합이 반시계 방향으로 움직이는 것과 (이하 (1)) 흰공 각자가 시계 방향으로 움직이는 것(이하(2))입니다. 먼저 흰공 집합의 중심 (Cx, Cy)가 움직이는 궤적을 표현해볼까요? 이는 단순한 원운동이네요. 원운동은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.


참고로 지금 나타내는 (Cx, Cy)는 t=0 일 때 (r,0)에서 시작하여 반시계 방향으로 돈다는 것을 기억해주십시오.

그리고 유심히 보시면 아시겠지만 (2)의 움직임은 (1)이 반시계로 한바퀴 돌 때 반대방향으로 한바퀴 돈다는 것을 알 수 있습니다. 다시 말해 각속도의 크기는 같고 방향만 반대라는 것이지요. 또한 회전 반경은 (1)과 (2)가 모두 r로서 같습니다.


자, 이제 우리가 원하는 움직임은 (1)로 움직이면서 동시에 (2)의 운동도 하는 것입니다. 이는 (기준좌표계가 같으므로) 단순한 벡터 합으로 표현할 수 있습니다.


어떤가요?! 신기하게도 Y축 상의 움직임은 없고 X축 상에서만 움직이는 스프링의 운동 방정식이 나타났습니다. 참고로 이게 왜 스프링의 운동이냐면요, 스프링의 운동은 보통 


으로 표현할 수 있는데요, 위의 방정식 역시 


이 되기 때문이죠. 본론으로 돌아와서, 우리는 어떤 점이 (1)과 (2)의 원운동이 합성된 운동 경로를 따라갈 경우, 그 운동은 X축을 따라 움직이는 스프링 운동임을 밝혀냈습니다. 그렇다면 동영상을 보면 Y축을 따라 움직이는 공도 있던데 이것도 표현이 가능할까요? 네, 당연히 가능하죠. 이것은 단지 위상차를 가지고 움직이는 다른 흰공의 운동이라 보시면 되겠습니다. 
X축 상을 움직이는 공의 r이 최대값을 가질 때 Y축 상을 움직이는 공은 r=0이 된다. 이는 두 공이 공 집합의 움직임 (1)은 공유하고 있으나 각자가 굴러가는 (2)의 움직임은 pi의 위상차를 갖고있기 때문이다.
다시 말해 X축 상을 움직이는 흰 공은 t=0일 때 Cx= r, Px= r → XA= 2r 이지만, Y축 상을 움직이는 흰 공은 t=0일 때 Cx= r, Px=-r → XB= 0 으로 pi 만큼의 위상차를 가진다는 것이지요. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.


두 원운동의 합인데 흰 공의 위상차에 따라서 한 공은 X축 위를 움직이고, 다른 한 공은 Y축 위를 움직이네요! 그렇다면 다른 모든 위상차를 가진 움직임들이 어떤 직선 위를 움직인다는 것을 증명할 수 있을까요? 네, 물론이죠.


(1)의 운동은 변함 없고요, (2)에서 위상차를 pi가 아닌 일반적인 임의의 값에 대해 적용하였습니다. 정리하는 과정에는 삼각함수의 합차공식이 쓰였고요. 이렇게 구해진 Y가 정말 X와 선형관계에 있는지 한번 알아보면요,


우아아아! 진짜네요ㅋㅋㅋ (1)과 (2) 두 개의 원운동이 합성된 움직임은 사실 원점을 지나는 직선 Y=aX 을 따라 움직이는 스프링 운동들의 합이었네요 ^^ 신기하죠? 


로봇 블로그에서 왠 고등학교 수학문제 같은 이야기를 하고있나 싶기도 하시겠지만요, 사실 로봇 제작을 포함한 대부분의 공학문제가 이러한 과정을 담고 있답니다. 풀고자 하는 문제를 수학적으로 정의하고 이를 수학적인 기법들로 풀어내는 것이지요. 가끔 저에게 '로봇공학자를 꿈꾸는데 지금 무엇을 하면 좋을까요?'라고 묻는 학생들이 있는데요, 저는 단연코 '수학과 물리, 영어에 집중하고 취미로 프로그래밍을 즐겨라'라고 말한답니다. 여러분들께서도 실생활에서 더욱 수학을 즐기셨으면 하는 바람입니다 ^^

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